Distance et milieu
Calculateur de distance et de milieu.
Trouvez la longueur du segment entre deux points et le point à mi-chemin — avec la démarche pythagoricienne écrite en entier et le segment tracé.
Collez une paire entière comme (−2 ; 1) (1 ; 5) dans n’importe quelle case pour remplir les quatre d’un coup.
Distance
5
Milieu
(−0,5, 3)
Écart horizontal (Δx)
3
Écart vertical (Δy)
4
Pente du segment
4/3
= 1,333333
Angle
53,1301°
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Solution pas à pas
La distance, c’est Pythagore déguisé
Placez deux points et tracez un triangle rectangle dont le segment qui les relie est l’hypoténuse. Le côté du bas est l’écart horizontal, x₂ − x₁. Le côté vertical est l’écart vertical, y₂ − y₁. Pythagore dit que le carré de l’hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres, et en réarrangeant on obtient la formule de la distance :
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Pour (−2 ; 1) et (1 ; 5), l’écart horizontal vaut 3 et l’écart vertical 4. C’est le fameux triangle 3-4-5, donc la distance vaut exactement 5. La plupart des paires de points ne tombent pas aussi juste et laissent un nombre irrationnel tel que √13 — qui est une réponse complète et exacte, pas quelque chose qu’il faudrait transformer en décimal.
Le milieu n’est qu’une moyenne
Pour trouver le point à mi-chemin du segment, faites la moyenne des deux abscisses et la moyenne des deux ordonnées :
M = ((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2)
Pour la même paire : x vaut (−2 + 1) ÷ 2 = −0,5 et y vaut (1 + 5) ÷ 2 = 3, donc le milieu est (−0,5 ; 3). Une vérification rapide : chaque coordonnée du milieu doit tomber entre les coordonnées correspondantes des deux extrémités. Sinon, un signe s’est égaré.
Deux erreurs à éviter
- Soustraire dans la formule du milieu. La distance utilise une soustraction, le milieu une addition. Les confondre est la faute la plus courante, et elle donne un résultat qui n’est nulle part près du segment.
- Oublier d’élever au carré avant d’additionner. √(3² + 4²) vaut 5, alors que √3² + √4² vaudrait 7. On élève au carré d’abord, puis on additionne, puis on prend la racine.
Les deux formules sont étroitement liées à la pente : les deux mêmes différences qui donnent la distance donnent aussi le dénivelé et la distance horizontale.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de la distance ?
La distance entre deux points vaut d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). C’est le théorème de Pythagore déguisé : les écarts horizontal et vertical sont les deux côtés courts d’un triangle rectangle, et la distance en est l’hypoténuse.
Quelle est la formule du milieu ?
Le milieu vaut ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) — la moyenne des deux abscisses et la moyenne des deux ordonnées. Moyenner chaque coordonnée séparément vous place exactement à mi-chemin du segment.
La distance peut-elle être négative ?
Non. Les deux différences sont élevées au carré avant d’être additionnées, ce qui supprime tout signe négatif, et la racine carrée d’un nombre positif est prise positive. Une distance est toujours nulle ou positive, et elle n’est nulle que si les deux points sont confondus.
L’ordre des points change-t-il le résultat ?
Pour aucune des deux formules. Échanger les points inverse le signe de chaque différence, mais l’élévation au carré supprime le signe, donc la distance ne change pas. Le milieu utilise une addition, qui se moque complètement de l’ordre.
Comment calculer la distance en trois dimensions ?
Ajoutez un troisième terme sous la racine : d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). Le schéma s’étend à n’importe quel nombre de dimensions — élevez chaque différence au carré, additionnez, prenez la racine. Ce calculateur traite le cas à deux dimensions.