Abstand und Mittelpunkt
Abstands- und Mittelpunktrechner.
Bestimmen Sie die Länge der Strecke zwischen zwei Punkten und den Punkt auf halbem Weg — mit ausgeschriebenem Rechenweg nach Pythagoras und gezeichneter Strecke.
Fügen Sie ein ganzes Paar wie (−2; 1) (1; 5) in ein beliebiges Feld ein, um alle vier auf einmal zu füllen.
Abstand
5
Mittelpunkt
(−0,5, 3)
Waagerechter Abstand (Δx)
3
Senkrechter Abstand (Δy)
4
Steigung der Strecke
4/3
= 1,333333
Winkel
53,1301°
Interaktives Diagramm. Ziehen Sie, um den Ausschnitt zu verschieben, oder scrollen Sie, um zu zoomen. Wenn das Diagramm den Fokus hat, verschieben die Pfeiltasten den Ausschnitt, Plus und Minus zoomen, und 0 setzt die Ansicht zurück.
Schritt-für-Schritt-Lösung
Der Abstand ist Pythagoras in Verkleidung
Tragen Sie zwei Punkte ein und zeichnen Sie ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse die Strecke zwischen ihnen ist. Die untere Seite ist der waagerechte Abstand, x₂ − x₁. Die aufrechte Seite ist der senkrechte Abstand, y₂ − y₁. Pythagoras sagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der beiden anderen Quadrate ist, und umgestellt ergibt das die Abstandsformel:
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Für (−2; 1) und (1; 5) beträgt der waagerechte Abstand 3 und der senkrechte 4. Das ist das bekannte 3-4-5-Dreieck, der Abstand ist also genau 5. Die meisten Punktpaare gehen nicht so glatt auf und hinterlassen eine irrationale Zahl wie √13 — was eine vollständige, exakte Antwort ist und nicht erst in eine Dezimalzahl verwandelt werden muss.
Der Mittelpunkt ist bloß ein Mittelwert
Um den Punkt auf halbem Weg zu finden, mitteln Sie die beiden x-Koordinaten und die beiden y-Koordinaten:
M = ((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2)
Für dasselbe Paar: x ist (−2 + 1) ÷ 2 = −0,5 und y ist (1 + 5) ÷ 2 = 3, der Mittelpunkt ist also (−0,5; 3). Eine schnelle Plausibilitätsprüfung: Jede Koordinate des Mittelpunkts muss zwischen den entsprechenden Koordinaten der beiden Endpunkte liegen. Tut sie das nicht, ist ein Vorzeichen verrutscht.
Zwei Fehler, die sich vermeiden lassen
- In der Mittelpunktformel subtrahieren. Der Abstand verwendet Subtraktion, der Mittelpunkt Addition. Beides zu verwechseln ist der häufigste Ausrutscher, und es liefert ein Ergebnis, das nirgends in der Nähe der Strecke liegt.
- Vor dem Addieren das Quadrieren vergessen. √(3² + 4²) ist 5, aber √3² + √4² wäre 7. Erst wird quadriert, dann addiert, dann die Wurzel gezogen.
Beide Formeln hängen eng mit der Steigung zusammen: Dieselben zwei Differenzen, die den Abstand liefern, liefern auch Höhenunterschied und horizontale Strecke.
Häufige Fragen
Wie lautet die Abstandsformel?
Der Abstand zweier Punkte ist d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Das ist der Satz des Pythagoras in Verkleidung: Der waagerechte und der senkrechte Abstand sind die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, und der Abstand ist die Hypotenuse.
Wie lautet die Mittelpunktformel?
Der Mittelpunkt ist ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) — der Mittelwert der beiden x-Werte und der Mittelwert der beiden y-Werte. Jede Koordinate einzeln zu mitteln bringt Sie genau auf die Hälfte der Strecke.
Kann der Abstand negativ sein?
Nein. Beide Differenzen werden vor dem Addieren quadriert, was jedes negative Vorzeichen beseitigt, und die Wurzel einer positiven Zahl wird positiv genommen. Ein Abstand ist immer null oder größer, und er ist nur dann null, wenn die beiden Punkte zusammenfallen.
Ändert die Reihenfolge der Punkte das Ergebnis?
Bei keiner der beiden Formeln. Beim Vertauschen wechselt jede Differenz das Vorzeichen, doch das Quadrieren beseitigt es, der Abstand bleibt also gleich. Der Mittelpunkt verwendet Addition, der die Reihenfolge ohnehin gleichgültig ist.
Wie bestimme ich den Abstand im dreidimensionalen Raum?
Fügen Sie unter der Wurzel einen dritten Term hinzu: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). Das Muster lässt sich auf beliebig viele Dimensionen erweitern — jede Differenz quadrieren, addieren, Wurzel ziehen. Dieser Rechner deckt den zweidimensionalen Fall ab.