Zum Rechner springen

y = mx + b

Rechner für die Normalform.

Geben Sie zwei Punkte oder einen Punkt mit Steigung ein und erhalten Sie die Geradengleichung in der Form y = mx + b — mit m und b als exakten Brüchen und ausgeschriebener Umformung.

Die Gleichung

y = 1/3x + 5/3

Steigung (m)

1/3

= 0,333333

y-Achsenabschnitt (b)

5/3

x-Achsenabschnitt

−5

Winkel

18,4349°

Punkt-Steigungs-Form

y − 2 = 1/3(x − 1)

Allgemeine Form

x − 3y = −5

XY−0,50,51,01,52,02,53,03,54,04,5−0,50,51,01,52,02,53,03,5horiz. 3Höhe 1(1; 2)(4; 3)

Interaktives Diagramm. Ziehen Sie, um den Ausschnitt zu verschieben, oder scrollen Sie, um zu zoomen. Wenn das Diagramm den Fokus hat, verschieben die Pfeiltasten den Ausschnitt, Plus und Minus zoomen, und 0 setzt die Ansicht zurück.

Eine steigende Gerade durch (1, 2) und (4, 3), mit der Steigung 0,3333, gezeichnet auf einem Raster mit eingezeichnetem Höhenunterschied und horizontaler Strecke.

Schritt-für-Schritt-Lösung

    y = mx + b lesen

    Die Normalform ist die praktischste Art, eine Gerade zu schreiben, denn beide Zahlen, die Sie zum Zeichnen brauchen, sind ohne jedes Umstellen sichtbar. In y = mx + b ist das m die Steigung — wie weit die Gerade steigt, während sie eine Einheit nach rechts geht — und das b ist der y-Achsenabschnitt, die Höhe, in der sie die senkrechte Achse schneidet.

    Um sie von Hand zu zeichnen, tragen Sie den Punkt (0, b) ein und gehen von dort mit der Steigung weiter. Bei y = (1/3)x + 5/3 beginnen Sie bei 5/3 auf der y-Achse, gehen drei Einheiten nach rechts und eine nach oben und tragen einen zweiten Punkt ein. Verbinden Sie die beiden, und die Gerade steht.

    Von zwei Punkten dorthin kommen

    Die Gleichung aus einem Punktpaar aufzubauen, braucht zwei Schritte in dieser Reihenfolge:

    1. Bestimmen Sie m. Teilen Sie die Änderung von y durch die Änderung von x. Für (1; 2) und (4; 3) ist das (3 − 2) ÷ (4 − 1) = 1/3.
    2. Bestimmen Sie b. Setzen Sie die Steigung und einen der beiden Punkte wieder in y = mx + b ein und lösen Sie auf. Mit (1; 2): 2 = (1/3)(1) + b, also b = 5/3.

    Nehmen Sie den anderen Punkt zur Probe — (4; 3) einzusetzen muss ebenfalls aufgehen: (1/3)(4) + 5/3 = 4/3 + 5/3 = 3. Das tut es, die Gleichung stimmt also. Dieser Rechner behält m und b durchgehend als exakte Brüche, denn die Steigung früh auf 0,33 zu runden verfälscht den Achsenabschnitt spürbar.

    Zwischen den drei Formen wechseln

    Dieselbe Gerade lässt sich auf drei Arten schreiben, und jede ist für etwas anderes bequem:

    • Normalform, y = mx + b — am besten zum Zeichnen und um die Steigung auf einen Blick abzulesen.
    • Punkt-Steigungs-Form, y − y₁ = m(x − x₁) — am besten, wenn Ihnen ein Punkt und eine Steigung gegeben sind, denn Sie können sie ganz ohne Umformung hinschreiben.
    • Allgemeine Form, Ax + By = C — am besten zum Lösen von Gleichungssystemen, und als einzige der drei kann sie auch eine senkrechte Gerade beschreiben.

    Von der allgemeinen Form zur Normalform heißt: nach y auflösen. Aus 2x + 3y = 6 ziehen Sie 2x ab und erhalten 3y = −2x + 6, dann teilen Sie durch 3 und kommen zu y = −2/3x + 2. In die andere Richtung multiplizieren Sie die Brüche aus und bringen den x-Term hinüber.

    Häufige Fragen

    Was ist die Normalform?

    Die Normalform schreibt eine Gerade als y = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist — der y-Wert, an dem die Gerade die senkrechte Achse schneidet. Sie ist die nützlichste Form zum Zeichnen, weil die beiden Zahlen, die Sie brauchen, direkt in der Gleichung stehen.

    Wie finde ich b, wenn ich die Steigung kenne?

    Setzen Sie die Steigung und einen beliebigen Punkt der Geraden in y = mx + b ein und lösen Sie nach b auf. Bei einer Steigung von 1/3 durch den Punkt (1; 2): 2 = (1/3)(1) + b, also b = 2 − 1/3 = 5/3. Jeder Punkt der Geraden liefert dasselbe Ergebnis.

    Wie wandle ich die allgemeine Form in die Normalform um?

    Lösen Sie Ax + By = C nach y auf. Ziehen Sie Ax auf beiden Seiten ab, um By = −Ax + C zu erhalten, und teilen Sie dann alles durch B, was y = (−A/B)x + C/B ergibt. Die Steigung ist also −A/B und der y-Achsenabschnitt C/B. Für 2x + 3y = 6 ist die Steigung −2/3 und der Achsenabschnitt 2.

    Lässt sich jede Gerade in Normalform schreiben?

    Nein. Eine senkrechte Gerade wie x = 4 hat eine nicht definierte Steigung und schneidet die y-Achse nie in einem einzelnen Punkt, es gibt also weder m noch b zum Hinschreiben. Jede andere Gerade — auch waagerechte, bei denen m einfach 0 ist — lässt sich als y = mx + b schreiben.

    Was sagt b über das Diagramm aus?

    b ist die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet, und legt damit ihre senkrechte Lage fest. b zu ändern verschiebt die ganze Gerade nach oben oder unten, ohne sie zu kippen, während m sie um diesen Schnittpunkt dreht.

    Verwandte Rechner