y = mx + b

Calculadora da forma reduzida.

Informe dois pontos, ou um ponto e a inclinação, e obtenha a equação da reta na forma y = mx + b — com m e b como frações exatas e a álgebra escrita por extenso.

x₁

y₁

x₂

y₂

A equação

y = 1/3x + 5/3

Inclinação (m)

1/3

= 0,333333

Intercepto em y (b)

5/3

Intercepto em x

−5

Ângulo

18,4349°

Forma ponto-inclinação

y − 2 = 1/3(x − 1)

Forma geral

x − 3y = −5

Uma reta ascendente passando por (1, 2) e (4, 3), com inclinação 0,3333, traçada sobre uma malha com o desnível e a distância horizontal marcados.

Resolução passo a passo

Lendo y = mx + b

A forma reduzida é a maneira mais prática de escrever uma reta, porque os dois números necessários para traçá-la ficam visíveis sem nenhuma manipulação. Em y = mx + b, o m é a inclinação — o quanto a reta sobe a cada unidade que avança para a direita — e o b é o intercepto em y, a altura em que ela corta o eixo vertical.

Para traçá-la à mão, marque o ponto (0, b) e avance a partir dele usando a inclinação. Com y = (1/3)x + 5/3 começa-se em 5/3 no eixo y, anda-se três unidades para a direita e uma para cima, e marca-se um segundo ponto. Ligue os dois e a reta está pronta.

Chegando lá a partir de dois pontos

Montar a equação a partir de um par de pontos leva dois passos, nesta ordem:

Ache m. Divida a variação em y pela variação em x. Para (1; 2) e (4; 3) isso dá (3 − 2) ÷ (4 − 1) = 1/3.
Ache b. Coloque a inclinação e qualquer um dos pontos de volta em y = mx + b e resolva. Usando (1; 2): 2 = (1/3)(1) + b, logo b = 5/3.

Use o outro ponto como conferência — substituir (4; 3) também precisa fechar: (1/3)(4) + 5/3 = 4/3 + 5/3 = 3. Fecha, então a equação está certa. Esta calculadora mantém m e b como frações exatas do começo ao fim, porque arredondar a inclinação para 0,33 cedo demais erra o intercepto o suficiente para se notar.

Convertendo entre as três formas

A mesma reta pode ser escrita de três maneiras, e cada uma é conveniente para algo diferente:

Forma reduzida, y = mx + b — a melhor para traçar e para ler a inclinação de imediato.
Forma ponto-inclinação, y − y₁ = m(x − x₁) — a melhor quando se recebe um ponto e uma inclinação, já que dá para escrevê-la sem nenhuma álgebra.
Forma geral, Ax + By = C — a melhor para resolver sistemas de equações, e a única das três que também descreve uma reta vertical.

Passar da forma geral para a reduzida é resolver em y: a partir de 2x + 3y = 6, subtraia 2x para obter 3y = −2x + 6 e divida por 3 para chegar a y = −2/3x + 2. No sentido inverso, multiplique para eliminar as frações e passe o termo em x para o outro lado.

Perguntas frequentes

O que é a forma reduzida?

A forma reduzida escreve uma reta como y = mx + b, em que m é a inclinação e b é o intercepto em y — o valor de y onde a reta cruza o eixo vertical. É a forma mais útil para traçar, porque os dois números de que se precisa estão bem ali na equação.

Como acho b depois de saber a inclinação?

Substitua a inclinação e qualquer ponto da reta em y = mx + b e resolva em b. Com inclinação de 1/3 passando pelo ponto (1; 2): 2 = (1/3)(1) + b, logo b = 2 − 1/3 = 5/3. Qualquer ponto da reta dá a mesma resposta.

Como converto a forma geral na forma reduzida?

Resolva Ax + By = C em y. Subtraia Ax dos dois lados para obter By = −Ax + C e divida tudo por B, o que dá y = (−A/B)x + C/B. Assim a inclinação é −A/B e o intercepto em y é C/B. Para 2x + 3y = 6, a inclinação é −2/3 e o intercepto é 2.

Toda reta pode ser escrita na forma reduzida?

Não. Uma reta vertical como x = 4 tem inclinação indefinida e nunca cruza o eixo y em um único ponto, então não há m nem b para escrever. Todas as outras retas — inclusive as horizontais, em que m é simplesmente 0 — podem ser escritas como y = mx + b.

O que b diz sobre o gráfico?

b é onde a reta cruza o eixo y, e portanto define sua posição vertical. Mudar b desloca a reta inteira para cima ou para baixo sem incliná-la, enquanto mudar m a gira em torno desse ponto de cruzamento.