y − y₁ = m(x − x₁)
Calculadora da forma ponto-inclinação.
Informe um ponto e uma inclinação — ou dois pontos — e ela escreve a reta na forma ponto-inclinação, depois converte para a forma reduzida e a forma geral com a resolução à vista.
Frações são bem-vindas — 3/4 permanece exato durante todo o cálculo.
Forma ponto-inclinação
y − 4 = 2(x − 3)
Forma reduzida
y = 2x − 2
Forma geral
2x − y = 2
Inclinação (m)
2
Intercepto em y
−2
Intercepto em x
1
Inclinação perpendicular
−0,5
Gráfico interativo. Arraste para deslocar ou use a roda do mouse para aproximar. Com o gráfico em foco, use as setas para deslocar, mais e menos para aproximar e 0 para redefinir a vista.
Resolução passo a passo
De onde vem a fórmula
A forma ponto-inclinação não é outra regra para decorar — é a fórmula da inclinação com uma multiplicação aplicada. Tome um ponto qualquer (x, y) de uma reta, um ponto conhecido (x₁, y₁) da mesma reta, e a definição de inclinação:
m = (y − y₁) ÷ (x − x₁)
Multiplique os dois lados por (x − x₁), o denominador some e resta y − y₁ = m(x − x₁). Essa é a dedução inteira. Sabendo disso, dá para reconstruir a fórmula em poucos segundos se ela escapar durante uma prova.
Usando-a
O atrativo é que nenhuma álgebra é necessária para escrever a equação. Dada uma inclinação de 2 passando pelo ponto (3; 4), substitua diretamente: y − 4 = 2(x − 3). Pronto. Compare com a forma reduzida, que exige achar antes o intercepto em y.
Cuidado com os sinais quando uma coordenada é negativa. Por (−2; 5) com inclinação 3, a forma é y − 5 = 3(x − (−2)), que se arruma como y − 5 = 3(x + 2). A subtração da fórmula é fixa, então um x₁ negativo vira um mais.
Partindo de dois pontos, em vez disso
Se você tem dois pontos em vez de um ponto e uma inclinação, calcule primeiro a inclinação e depois use qualquer um dos pontos. As duas escolhas dão uma equação correta — e de aparência diferente — para a mesma reta. Desenvolvê-las prova isso: y − 4 = 2(x − 3) e y − 6 = 2(x − 4) reduzem-se ambas a y = 2x − 2.
Vale saber disso quando sua resposta não bate com a do gabarito. Antes de supor que está errada, desenvolva as duas versões até a forma reduzida e compare. Muitas vezes é a mesma reta escrita a partir de outro ponto de partida.
Perguntas frequentes
O que é a forma ponto-inclinação?
A forma ponto-inclinação escreve uma reta como y − y₁ = m(x − x₁), em que m é a inclinação e (x₁, y₁) é qualquer ponto por onde a reta passa. É a forma mais rápida de escrever, porque as duas coisas que você conhece entram direto nela, sem resolver nada.
Quando devo usar a forma ponto-inclinação em vez de y = mx + b?
Use a forma ponto-inclinação quando lhe derem um ponto e uma inclinação, que é a situação inicial habitual em um problema de cálculo ou de física. A forma reduzida exige saber onde a reta cruza o eixo y, e descobrir isso é um passo a mais de que muitas vezes não se precisa.
Por que é y − y₁ e não y + y₁?
A forma vem direto da fórmula da inclinação. Partindo de m = (y − y₁)/(x − x₁) e multiplicando os dois lados por (x − x₁) chega-se a y − y₁ = m(x − x₁). A subtração já estava ali, na fórmula da inclinação.
Importa qual ponto eu uso?
Não. Qualquer ponto da reta dá uma equação ponto-inclinação válida, e todas descrevem a mesma reta. Duas pessoas podem escrever a mesma reta como y − 4 = 2(x − 3) e y − 6 = 2(x − 4), e as duas estão certas — desenvolver qualquer uma delas dá y = 2x − 2.
Como converto a forma ponto-inclinação na forma reduzida?
Desenvolva o parêntese e passe a constante para o outro lado. De y − 4 = 2(x − 3): desenvolva para y − 4 = 2x − 6 e some 4 aos dois lados, chegando a y = 2x − 2. Esta calculadora mostra a mesma conversão para o que você informar.