y − y₁ = m(x − x₁)
Rechner für die Punkt-Steigungs-Form.
Geben Sie einen Punkt und eine Steigung — oder zwei Punkte — an, und der Rechner schreibt die Gerade in Punkt-Steigungs-Form und wandelt sie dann mit sichtbarem Rechenweg in Normalform und allgemeine Form um.
Brüche sind willkommen — 3/4 bleibt die ganze Rechnung über exakt.
Punkt-Steigungs-Form
y − 4 = 2(x − 3)
Normalform
y = 2x − 2
Allgemeine Form
2x − y = 2
Steigung (m)
2
y-Achsenabschnitt
−2
x-Achsenabschnitt
1
Steigung der Senkrechten
−0,5
Interaktives Diagramm. Ziehen Sie, um den Ausschnitt zu verschieben, oder scrollen Sie, um zu zoomen. Wenn das Diagramm den Fokus hat, verschieben die Pfeiltasten den Ausschnitt, Plus und Minus zoomen, und 0 setzt die Ansicht zurück.
Schritt-für-Schritt-Lösung
Woher die Formel kommt
Die Punkt-Steigungs-Form ist keine eigene Regel zum Auswendiglernen — sie ist die Steigungsformel mit einer einzigen Multiplikation. Nehmen Sie einen beliebigen Punkt (x, y) auf einer Geraden, einen bekannten Punkt (x₁, y₁) auf derselben Geraden und die Definition der Steigung:
m = (y − y₁) ÷ (x − x₁)
Multiplizieren Sie beide Seiten mit (x − x₁), der Nenner verschwindet und übrig bleibt y − y₁ = m(x − x₁). Das ist die ganze Herleitung. Wer sie kennt, baut die Formel in ein paar Sekunden neu auf, wenn sie einem in der Prüfung entfällt.
Sie anwenden
Der Reiz liegt darin, dass zum Hinschreiben der Gleichung keine Umformung nötig ist. Bei einer Steigung von 2 durch den Punkt (3; 4) setzen Sie direkt ein: y − 4 = 2(x − 3). Fertig. Vergleichen Sie das mit der Normalform, für die Sie erst den y-Achsenabschnitt bestimmen müssen.
Achten Sie auf die Vorzeichen, wenn eine Koordinate negativ ist. Durch (−2; 5) mit einer Steigung von 3 lautet die Form y − 5 = 3(x − (−2)), was sich zu y − 5 = 3(x + 2)aufräumt. Die Subtraktion in der Formel liegt fest, ein negatives x₁ wird also zu einem Plus.
Stattdessen mit zwei Punkten anfangen
Wenn Sie zwei Punkte statt eines Punktes mit Steigung haben, bestimmen Sie zuerst die Steigung und nehmen dann einen der beiden Punkte. Beide Wahlmöglichkeiten liefern eine richtige — und verschieden aussehende — Gleichung derselben Geraden. Ausmultiplizieren beweist es: y − 4 = 2(x − 3) und y − 6 = 2(x − 4) werden beide zu y = 2x − 2.
Das ist gut zu wissen, wenn Ihr Ergebnis nicht mit dem Lösungsteil übereinstimmt. Bevor Sie annehmen, Sie hätten sich geirrt, formen Sie beide Fassungen in die Normalform um und vergleichen Sie. Oft ist es dieselbe Gerade, nur von einem anderen Ausgangspunkt geschrieben.
Häufige Fragen
Was ist die Punkt-Steigungs-Form?
Die Punkt-Steigungs-Form schreibt eine Gerade als y − y₁ = m(x − x₁), wobei m die Steigung und (x₁, y₁) ein beliebiger Punkt ist, durch den die Gerade läuft. Sie ist die am schnellsten hinzuschreibende Form, denn Sie setzen die beiden bekannten Größen direkt ein, ohne etwas aufzulösen.
Wann sollte ich die Punkt-Steigungs-Form statt y = mx + b nutzen?
Nutzen Sie die Punkt-Steigungs-Form, wenn Ihnen ein Punkt und eine Steigung gegeben sind, was in der Analysis oder der Physik die übliche Ausgangslage ist. Die Normalform verlangt zu wissen, wo die Gerade die y-Achse schneidet, und das auszurechnen ist ein zusätzlicher Schritt, den Sie oft nicht brauchen.
Warum y − y₁ und nicht y + y₁?
Die Form kommt direkt aus der Steigungsformel. Aus m = (y − y₁)/(x − x₁) folgt nach Multiplikation beider Seiten mit (x − x₁) die Gleichung y − y₁ = m(x − x₁). Die Subtraktion stand also schon in der Steigungsformel.
Spielt es eine Rolle, welchen Punkt ich nehme?
Nein. Jeder Punkt der Geraden liefert eine gültige Punkt-Steigungs-Gleichung, und alle beschreiben dieselbe Gerade. Zwei Menschen können dieselbe Gerade als y − 4 = 2(x − 3) und als y − 6 = 2(x − 4) schreiben, und beides ist richtig — beide ergeben ausmultipliziert y = 2x − 2.
Wie wandle ich die Punkt-Steigungs-Form in die Normalform um?
Multiplizieren Sie die Klammer aus und bringen Sie die Konstante hinüber. Aus y − 4 = 2(x − 3): ausmultipliziert y − 4 = 2x − 6, dann auf beiden Seiten 4 addieren, ergibt y = 2x − 2. Dieser Rechner zeigt dieselbe Umformung für das, was Sie eingeben.