Steigungsrechner.

So berechnen Sie die Steigung einer Geraden

Die Steigung misst, wie steil eine Gerade ist und in welche Richtung sie sich neigt. Sie ist das Verhältnis der senkrechten Änderung zwischen zwei Punkten zur waagerechten Änderung zwischen denselben zwei Punkten — der Höhenunterschied geteilt durch die horizontale Strecke. Eine Steigung von 2 bedeutet, dass die Gerade um zwei Einheiten steigt, während sie eine Einheit zur Seite geht.

Die Formel lautet:

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

Durchgerechnet mit den Punkten (3; 4) und (6; 8):

1. Benennen Sie die Punkte. Nennen Sie (3; 4) den ersten Punkt, also x₁ = 3 und y₁ = 4. Nennen Sie (6; 8) den zweiten, also x₂ = 6 und y₂ = 8.
2. Ziehen Sie die y-Werte voneinander ab. 8 − 4 = 4. Das ist der Höhenunterschied.
3. Ziehen Sie die x-Werte voneinander ab. 6 − 3 = 3. Das ist die horizontale Strecke.
4. Teilen Sie. 4 ÷ 3 = 4/3, also etwa 1,333.

Die Reihenfolge, in der Sie die Punkte wählen, ändert das Ergebnis nicht. Vertauscht ergibt sich (4 − 8) ÷ (3 − 6) = −4 ÷ −3, und das ist weiterhin 4/3. Was die Rechnung zerstört, ist eine gemischte Reihenfolge zwischen Zähler und Nenner — erst das erste y vom zweiten abzuziehen und dann das zweite x vom ersten. Das dreht das Vorzeichen um und ist mit Abstand der häufigste Fehler.

Was die Zahl Ihnen sagt

Das Vorzeichen gibt die Richtung an, der Betrag die Steilheit. Eine positive Steigung steigt von links nach rechts an, eine negative fällt ab. Eine Steigung von null ist eine flache, waagerechte Gerade. Eine senkrechte Gerade hat überhaupt keine Steigung — keine unendliche —, denn sie auszurechnen hieße, durch null zu teilen, und das hat keine Antwort.

Außerhalb des Mathematikunterrichts wird dieselbe Zahl auf drei andere Arten geschrieben. Eine Steigung von 0,08 ist ein Gefälle von 8% auf einem Verkehrsschild, ein Verhältnis von 1 zu 12,5 auf einer Zeichnung und 4,57° auf einer digitalen Wasserwaage. Alle beschreiben dieselbe Steilheit. Was Menschen dabei überrascht, ist das Verhältnis zwischen Prozent und Grad: Sie sind nicht proportional, und 100% Steigung sind 45°, nicht 90°.

Wenn Sie keine zwei Punkte haben

Selten beginnt man mit einem sauberen Koordinatenpaar. Dieser Rechner nimmt drei weitere Ausgangslagen an, jede in ihrem eigenen Reiter:

• Punkt und Steigung — wenn Sie einen Punkt kennen, durch den die Gerade läuft, und wissen, wie steil sie ist; das legt die ganze Gerade fest.
• Höhenunterschied und Strecke — das Maß, das Sie auf der Baustelle tatsächlich mit Wasserwaage und Bandmaß nehmen.
• Eine Gleichung — fügen Sie y = 2x + 3, 2x + 3y = 6, oder f(x) = −x/2 + 1, und die Steigung lässt sich direkt daraus ablesen.

Jede Rechnung hat ihren eigenen Link

Die Zahlen, die Sie eingeben, stehen in der Adresszeile, sodass die URL immer genau beschreibt, was auf dem Bildschirm zu sehen ist. Kopieren Sie sie, und wer sie öffnet, sieht Ihre Rechnung statt eines leeren Formulars — praktisch für Hausaufgabenhilfe, eine Frage im Forum oder um jemandem auf der Baustelle ein Maß zu schicken. Nichts wird auf einem Server gespeichert; der Link ist die gesamte Aufzeichnung.