y − y₁ = m(x − x₁)
Calculateur de forme point-pente.
Donnez-lui un point et une pente — ou deux points — et il écrit la droite en forme point-pente, puis la convertit en forme réduite et en forme générale, démarche à l’appui.
Les fractions sont les bienvenues — 3/4 reste exact pendant tout le calcul.
Forme point-pente
y − 4 = 2(x − 3)
Forme réduite
y = 2x − 2
Forme générale
2x − y = 2
Pente (m)
2
Ordonnée à l’origine
−2
Abscisse à l’origine
1
Pente perpendiculaire
−0,5
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Solution pas à pas
D’où vient la formule
La forme point-pente n’est pas une règle de plus à mémoriser — c’est la formule de la pente à laquelle on applique une multiplication. Prenez un point quelconque (x, y) d’une droite, un point connu (x₁, y₁) de la même droite, et la définition de la pente :
m = (y − y₁) ÷ (x − x₁)
Multipliez les deux côtés par (x − x₁), le dénominateur disparaît et il reste y − y₁ = m(x − x₁). Voilà toute la démonstration. La connaître permet de reconstruire la formule en quelques secondes si elle vous échappe pendant un examen.
S’en servir
Son intérêt est qu’aucune algèbre n’est nécessaire pour écrire l’équation. Avec une pente de 2 passant par le point (3 ; 4), substituez directement : y − 4 = 2(x − 3). Terminé. Comparez avec la forme réduite, qui exige de calculer d’abord l’ordonnée à l’origine.
Attention aux signes quand une coordonnée est négative. Par (−2 ; 5) avec une pente de 3, la forme est y − 5 = 3(x − (−2)), ce qui se range en y − 5 = 3(x + 2). La soustraction de la formule est fixe, donc un x₁ négatif devient un plus.
Partir de deux points à la place
Si vous avez deux points plutôt qu’un point et une pente, calculez d’abord la pente, puis utilisez l’un ou l’autre point. Les deux choix donnent une équation correcte — et d’apparence différente — pour la même droite. Les développer le prouve : y − 4 = 2(x − 3) et y − 6 = 2(x − 4) se réduisent toutes deux à y = 2x − 2.
Bon à savoir quand votre réponse ne correspond pas à celle du corrigé. Avant de conclure que vous avez tort, développez les deux versions en forme réduite et comparez. Il s’agit souvent de la même droite écrite depuis un point de départ différent.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que la forme point-pente ?
La forme point-pente écrit une droite comme y − y₁ = m(x − x₁), où m est la pente et (x₁, y₁) un point quelconque par lequel la droite passe. C’est la forme la plus rapide à écrire, parce que vous y placez directement les deux choses que vous connaissez, sans rien résoudre.
Quand utiliser la forme point-pente plutôt que y = mx + b ?
Utilisez la forme point-pente quand on vous donne un point et une pente, ce qui est la situation de départ habituelle en analyse ou en physique. La forme réduite exige de savoir où la droite coupe l’axe des ordonnées, et le calculer est une étape supplémentaire dont vous n’avez souvent pas besoin.
Pourquoi y − y₁ et non y + y₁ ?
La forme vient directement de la formule de la pente. En partant de m = (y − y₁)/(x − x₁) et en multipliant les deux côtés par (x − x₁), on obtient y − y₁ = m(x − x₁). La soustraction était déjà là, dans la formule de la pente.
Le choix du point a-t-il une importance ?
Non. N’importe quel point de la droite donne une équation point-pente valable, et elles décrivent toutes la même droite. Deux personnes peuvent écrire la même droite y − 4 = 2(x − 3) et y − 6 = 2(x − 4), et les deux sont justes — développer l’une ou l’autre donne y = 2x − 2.
Comment convertir la forme point-pente en forme réduite ?
Développez la parenthèse et faites passer la constante de l’autre côté. À partir de y − 4 = 2(x − 3) : développez pour obtenir y − 4 = 2x − 6, puis ajoutez 4 des deux côtés pour y = 2x − 2. Ce calculateur montre la même conversion pour ce que vous saisissez.