y − y₁ = m(x − x₁)
Calculadora de la forma punto-pendiente.
Dale un punto y una pendiente — o dos puntos — y escribe la recta en forma punto-pendiente, y después la convierte a la forma pendiente-ordenada y a la general con el desarrollo a la vista.
Las fracciones sirven — 3/4 se mantiene exacto durante todo el cálculo.
Forma punto-pendiente
y − 4 = 2(x − 3)
Forma pendiente-ordenada
y = 2x − 2
Forma general
2x − y = 2
Pendiente (m)
2
Ordenada al origen
−2
Abscisa al origen
1
Pendiente perpendicular
−0,5
Gráfico interactivo. Arrastra para desplazarte o usa la rueda para acercar. Con el gráfico enfocado, usa las flechas para desplazarte, más y menos para acercar y 0 para restablecer la vista.
Solución paso a paso
De dónde sale la fórmula
La forma punto-pendiente no es una regla aparte que memorizar — es la fórmula de la pendiente con una multiplicación aplicada. Toma un punto cualquiera (x; y) de una recta, un punto conocido (x₁; y₁) de esa misma recta, y la definición de pendiente:
m = (y − y₁) ÷ (x − x₁)
Multiplica ambos lados por (x − x₁) y el denominador desaparece, dejando y − y₁ = m(x − x₁). Esa es toda la deducción. Sabiéndola puedes reconstruir la fórmula en un par de segundos si se te olvida en un examen.
Cómo usarla
Su atractivo es que no hace falta álgebra para escribir la ecuación. Dada una pendiente de 2 que pasa por el punto (3; 4), sustituye directamente: y − 4 = 2(x − 3). Ya está. Compáralo con la forma pendiente-ordenada, que exige calcular antes la ordenada al origen.
Cuidado con los signos cuando una coordenada es negativa. Por (−2; 5) con una pendiente de 3, la forma es y − 5 = 3(x − (−2)), que se ordena como y − 5 = 3(x + 2). La resta de la fórmula es fija, así que una x₁ negativa se convierte en una suma.
Empezar desde dos puntos
Si tienes dos puntos en lugar de un punto y una pendiente, calcula primero la pendiente y luego usa cualquiera de los dos puntos. Ambas opciones dan una ecuación correcta — y de aspecto distinto — para la misma recta. Desarrollarlas lo demuestra: y − 4 = 2(x − 3) y y − 6 = 2(x − 4) se reducen ambas a y = 2x − 2.
Merece la pena saberlo cuando tu respuesta no coincide con la del final del libro. Antes de dar por hecho que te has equivocado, desarrolla ambas versiones a la forma pendiente-ordenada y compáralas. A menudo son la misma recta escrita desde un punto de partida distinto.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la forma punto-pendiente?
La forma punto-pendiente escribe una recta como y − y₁ = m(x − x₁), donde m es la pendiente y (x₁; y₁) es cualquier punto por el que pasa la recta. Es la forma más rápida de escribir, porque puedes meter directamente los dos datos que conoces sin resolver nada.
¿Cuándo conviene usar la forma punto-pendiente en lugar de y = mx + b?
Usa la punto-pendiente cuando te dan un punto y una pendiente, que es la situación de partida habitual en un problema de cálculo o de física. La forma pendiente-ordenada exige saber dónde corta la recta al eje y, y calcular eso es un paso de más que a menudo no necesitas.
¿Por qué es y − y₁ y no y + y₁?
La forma sale directamente de la fórmula de la pendiente. Partiendo de m = (y − y₁)/(x − x₁) y multiplicando ambos lados por (x − x₁) se obtiene y − y₁ = m(x − x₁). La resta ya estaba en la fórmula de la pendiente.
¿Importa qué punto use?
No. Cualquier punto de la recta da una ecuación punto-pendiente válida, y todas describen la misma recta. Dos personas pueden escribir la misma recta como y − 4 = 2(x − 3) e y − 6 = 2(x − 4), y ambas son correctas — al desarrollar cualquiera de las dos se obtiene y = 2x − 2.
¿Cómo paso de la forma punto-pendiente a la pendiente-ordenada?
Desarrolla el paréntesis y pasa la constante al otro lado. De y − 4 = 2(x − 3): multiplica para obtener y − 4 = 2x − 6 y luego suma 4 en ambos lados para llegar a y = 2x − 2. Esta calculadora muestra esa misma conversión para lo que introduzcas.