Distância e ponto médio
Calculadora de distância e ponto médio.
Encontre o comprimento do segmento entre dois pontos e o ponto na metade dele — com a resolução por Pitágoras escrita por extenso e o segmento traçado.
Cole um par inteiro como (−2; 1) (1; 5) em qualquer campo para preencher os quatro de uma vez.
Distância
5
Ponto médio
(−0,5, 3)
Diferença horizontal (Δx)
3
Diferença vertical (Δy)
4
Inclinação do segmento
4/3
= 1,333333
Ângulo
53,1301°
Gráfico interativo. Arraste para deslocar ou use a roda do mouse para aproximar. Com o gráfico em foco, use as setas para deslocar, mais e menos para aproximar e 0 para redefinir a vista.
Resolução passo a passo
A distância é Pitágoras disfarçado
Marque dois pontos e desenhe um triângulo retângulo tendo o segmento entre eles como hipotenusa. O lado de baixo é a diferença horizontal, x₂ − x₁. O lado em pé é a diferença vertical, y₂ − y₁. Pitágoras diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois, e rearranjando chega-se à fórmula da distância:
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Para (−2; 1) e (1; 5), a diferença horizontal é 3 e a vertical é 4. É o conhecido triângulo 3-4-5, então a distância é exatamente 5. A maioria dos pares de pontos não fecha tão redondo e deixa um número irracional como √13 — que é uma resposta completa e exata, e não algo que precise virar decimal.
O ponto médio é só uma média
Para achar o ponto na metade do segmento, tire a média das duas abscissas e a média das duas ordenadas:
M = ((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2)
Para o mesmo par: x é (−2 + 1) ÷ 2 = −0,5 e y é (1 + 5) ÷ 2 = 3, então o ponto médio é (−0,5; 3). Uma conferência rápida: cada coordenada do ponto médio precisa cair entre as coordenadas correspondentes das duas extremidades. Se não cair, algum sinal se perdeu no caminho.
Dois erros que vale evitar
- Subtrair na fórmula do ponto médio. A distância usa subtração, o ponto médio usa adição. Trocar as duas é o deslize mais comum, e produz uma resposta que não fica nem perto do segmento.
- Esquecer de elevar ao quadrado antes de somar. √(3² + 4²) é 5, mas √3² + √4² seria 7. Primeiro se eleva ao quadrado, depois se soma, depois se tira a raiz.
As duas fórmulas estão bem ligadas à inclinação: as mesmas duas diferenças que dão a distância também dão o desnível e a distância horizontal.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula da distância?
A distância entre dois pontos é d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). É o teorema de Pitágoras disfarçado: as diferenças horizontal e vertical são os dois catetos de um triângulo retângulo, e a distância é a hipotenusa.
Qual é a fórmula do ponto médio?
O ponto médio é ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) — a média dos dois valores de x e a média dos dois valores de y. Tirar a média de cada coordenada separadamente leva exatamente à metade do segmento.
A distância pode ser negativa?
Não. As duas diferenças são elevadas ao quadrado antes de serem somadas, o que elimina qualquer sinal negativo, e a raiz quadrada de um número positivo é tomada como positiva. A distância é sempre zero ou maior, e só é zero quando os dois pontos coincidem.
A ordem dos pontos muda a resposta?
Em nenhuma das duas fórmulas. Trocar os pontos inverte o sinal de cada diferença, mas elevar ao quadrado remove o sinal, então a distância não muda. O ponto médio usa adição, que não se importa nem um pouco com a ordem.
Como calcular a distância em três dimensões?
Acrescente o terceiro termo sob a raiz: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). O padrão se estende a qualquer número de dimensões — eleve cada diferença ao quadrado, some, tire a raiz. Esta calculadora cobre o caso bidimensional.